周期驱动量子调控

徐鹏

doi:10.12405/j.issn.2097-1486.2023.02.003

English Version

您当前的位置：

首页 >

文章列表页 >

周期驱动量子调控

更新时间：2024-03-29

- 周期驱动量子调控
- Periodically driving quantum control
- 角色： First author , 第一作者 ,
  
  机构：
  郑州大学物理学院，河南郑州 450001
  河南省科学院量子物理与材料研究所，河南郑州 450046
  
  邮箱： physicalxupeng@zzu.edu.cn
  
  简介： [ "徐鹏，男，研究员；博士，硕士生导师；2019年博士毕业于武汉大学，2019年7月—2022年3月在清华大学高等研究院从事博士后研究，2022年6月入职郑州大学物理学院任特聘研究员。主要从事量子调控、量子模拟和精密测量的研究，提出利用多能级振荡方法快速制备纠缠态、提出利用冷原子体系模拟非阿贝尔动力学规范场、推广周期驱动拓扑不变量，推广参数共振模型等相关工作，发表SCI论文10余篇。主持国家青年科学基金一项，国家面上项目一项。Email：physicalxupeng@zzu.edu.cn" ]
  
  暂无本作者相关信息
  徐鹏
  ，
- 新兴科学和技术趋势 2023年2卷第2期页码：135-146
- 作者机构：
  
  1.郑州大学物理学院，河南郑州 450001
  2.河南省科学院量子物理与材料研究所，河南郑州 450046
- 作者简介：
  
  [ "徐鹏，男，研究员；博士，硕士生导师；2019年博士毕业于武汉大学，2019年7月—2022年3月在清华大学高等研究院从事博士后研究，2022年6月入职郑州大学物理学院任特聘研究员。主要从事量子调控、量子模拟和精密测量的研究，提出利用多能级振荡方法快速制备纠缠态、提出利用冷原子体系模拟非阿贝尔动力学规范场、推广周期驱动拓扑不变量，推广参数共振模型等相关工作，发表SCI论文10余篇。主持国家青年科学基金一项，国家面上项目一项。Email：physicalxupeng@zzu.edu.cn" ]
- 基金信息：
  
  国家自然科学基金青年项目(12204428);国家自然科学基金面上项目(12375023)
- DOI：10.12405/j.issn.2097-1486.2023.02.003
  中图分类号： O431.2
- 纸质出版日期：2023-06-25，
  
  收稿日期：2023-04-20，
  
  修回日期：2023-05-20，
扫描看全文
引用本文

阅读全文PDF
徐鹏.周期驱动量子调控[J].新兴科学和技术趋势,2023,2(2):135-146.

XU Peng.Periodically driving quantum control[J].Emerging Science and Technology,2023,2(2):135-146.
徐鹏.周期驱动量子调控[J].新兴科学和技术趋势,2023,2(2):135-146. DOI： 10.12405/j.issn.2097-1486.2023.02.003.

XU Peng.Periodically driving quantum control[J].Emerging Science and Technology,2023,2(2):135-146. DOI： 10.12405/j.issn.2097-1486.2023.02.003.

摘要

随着实验技术的进步和发展，周期驱动在量子调控、量子模拟、精密测量等领域展现出越来越重要的作用。本文从处理周期驱动的一般性Floquet理论出发，重点介绍了不同周期调控序列在动力学解耦、延长体系相干时间方面的应用，以及周期调控在发现新奇量子物态如反常体边对应、动力学规范场、离散时间晶体等方面的重要应用。此外，开放体系中有关周期驱动的理论研究也亟待发展。

译

Abstract

As the development of experimental technology， periodic driving plays an important role in fields such as quantum control， quantum simulation and precision measurement. This article starts from the Floquet theory that deals with periodic driving， and focuses on the applications of different periodic control sequences in dynamical decoupling and extending the coherence time of systems， as well as the use of periodic control in discovering novel quantum states such as anomalous bulk-edge correspondence， dynamical gauge field， discrete time crystal， etc. In addition， theoretical research on periodic driving in open systems needs to be developed urgently.

译

关键词

周期驱动; 动力学解耦; 新奇量子物态

译

Keywords

periodic driving; dynamical decoupling; novel quantum states

译

1 周期调控简介

对周期调控这一类问题的处理要追溯到1883年，由法国物理学家Gaston Floquet提出。由于体系受到周期性驱动，系统哈密顿量通常满足条件 $\hat{H} (t + T) = \hat{H} (t)$ ，其中T为驱动场的周期。该理论处理周期性的思想同Bloch定理基本相同，即利用傅里叶变换将时间维度变换到频率维度，从而利用体系准能量为守恒量这一特性，对问题做进一步处理。周期性驱动作为单粒子相干操作的标准工具已经具有很长的历史，从1950年Hahn提出自旋回波理论开始^［

1］，到现在已经发展了多种形式的动力学解耦方法，例如离散脉冲方案Carr-Purcell-Meiboom-Gill（CPMG）^{［参考文献 2-3

2-3］}，周期序列XY-4（PDD）^{［参考文献 4-5

4-5］}，多重嵌套XY-4（CDD）^{［参考文献 4-5

4-5］}，Uhrig DD（UDD）^{［参考文献 6

百度学术

6］}，uni-axial DD（Uni-DD）^{［参考文献 7

百度学术

7］}，以及一些连续控制场解耦方案^{［参考文献 8-16

8-16］}。这些方案在延长体系相干性方面已经得到实验充分验证^{［参考文献 17-19

17-19］}。例如：Nitrogen-vacancy（NV）体系中，代尔夫特理工大学的小组利用周期调制的单轴脉冲将自旋相干性在温度为3.7K的条件下延长到秒的量级^{［参考文献 20

百度学术

20］}；离子阱体系中，清华大学的团队首先利用CPMG形式的周期脉冲将171Yb⁺离子的相干时间延长到10 min^{［参考文献 21

百度学术

21］}；更进一步地，该团队利用优化的脉冲调制序列突破性地将171Yb⁺离子的相干时间增加到超过1 h^{［参考文献 22

百度学术

22］}；超导量子比特体系中，中国科学技术大学的团队和南加州大学小组分别利用周期调制的脉冲极大地增加了单比特和两比特量子门的保真度^{［参考文献 19

百度学术

19，参考文献 23

百度学术

23］}。

译

然而传统相干调控情况下并没有充分展示周期调控在多体物理中的优势。近年来随着冷原子物理实验技术的进步和发展，已经有很多实验组利用周期驱动在量子模拟领域实现了新奇的量子物态。比如Zenesini A等人在周期振动的光晶格中有效调节了粒子间相互作用强度和格点间跃迁强度 $U / J$ 的比值，从而实现了超流-莫特绝缘体相变^［

24］。Struck J等人在二维周期振动三角晶格中，通过独立调节不同格点间跃迁强度

$J$ 的符号实现了“运动阻挫”效应^{［参考文献 25

百度学术

25］}。Clark L W等人利用周期振动的二维光晶格在玻色-爱因斯坦凝聚体中实现了密度依赖的规范场^{［参考文献 26

百度学术

26］}。更为让人惊喜的是，Jotzu G等人利用周期振动的六角晶格在破坏体系时间反演对称性条件下，实现了Haldane模型^{［参考文献 27

百度学术

27］}。而Wintersperger K等人将前一个实验加以推广，在更一般的驱动频率和跃迁强度下测量了体系的拓扑性质，发现了反常体边对应^{［参考文献 28

百度学术

28］}，这一发现极大地促进了理论上对周期驱动体系拓扑的研究。近几年，在周期驱动的量子系统中，体系热化和离散时间晶体也是非常前沿的研究。NV体系中，Choi S和Choi J等人实现了体系演化周期是驱动周期两倍和三倍的离散时间晶体^{［参考文献 29-30

29-30］}；Randall J等人实现了可编程的离散时间晶体平台，并且对初始状态为一般直积态的演化过程进行了模拟，结果很好地显示了体系磁化强度的演化周期2倍于驱动周期的特点^{［参考文献 31

百度学术

31］}；离子阱体系中，Zhang J和Kyprianidis A等人利用离子分别实现了多体局域化类型的离散时间晶体和预热化类型的离散时间晶体，从而丰富了离散时间晶体的研究类型^{［参考文献 32-33

32-33］}；Zhang X等人实现了拓扑保护的离散时间晶体^{［参考文献 34

百度学术

34］}。

译

基于上述有关实验方面的快速发展，也体现出周期调控在精密测量、量子计算和量子模拟等领域的重要作用。本文接下来主要从一般性的周期驱动理论出发，着重介绍不同方案的动力学解耦技术在延长体系相干时间，以及周期驱动在实现新型量子物态方面的丰富应用。

译

2 Floquet理论

对于周期驱动的体系，其哈密顿量在时间维度上具有离散平移不变性， $\hat{H} (t + T) = \hat{H} (t)$ ，体系状态的演化满足薛定谔方程 $i \partial_{t}$ $|ψ (t)>$ $= \hat{H} (t) |ψ (t)>$ 。通常情况下处理这一类问题的方法称为Floquet理论。在Floquet框架下，通常有三种不同的形式处理这一类问题，如图1所示^［

35-36］。接下来，我们依次阐述这三种形式的Floquet理论：

译

图 1 Floquet框架下处理周期驱动体系的三种形式

Fig. 1 Three types of Floquet theory dealing with periodic driving

（a）时间排序演化；（b） Floquet矩阵；（c） Floquet-Magnus微扰展开

(a) Time-ordering evolution; (b) Floquet matrix; (c) Floquet-Magnus perturbation expansion

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

2.1 时间排序演化

首先将薛定谔方程写成积分形式，

译

$|ψ (t_{2})> = \hat{𝒯} e^{- i \int_{t_{1}}^{t_{2}} \hat{H} (t) d t} |ψ (t_{1})>$ ，

（1）

其中 $\hat{𝒯}$ 代表时间排序算符。数值上处理时间排序演化算符时，可以将时间切分成非常小的片段，直到演化算符收敛，

译

$\hat{U} (t_{2}, t_{1}) = \hat{𝒯} e^{- i \int_{t_{1}}^{t_{2}} \hat{H} (t) d t} = e^{- i \int_{t_{n}^{'}}^{t_{2}} \hat{H} (t) d t} \dots e^{- i \int_{t_{2}^{'}}^{t_{3}^{'}} \hat{H} (t) d t} e^{- i \int_{t_{1}^{'}}^{t_{2}^{'}} \hat{H} (t) d t} e^{- i \int_{t_{1}}^{t_{1}^{'}} \hat{H} (t) d t}$ ，

（2）

其次如果将一个周期的时间演化算符写成形如

译

$\hat{U} (t_{0} + T, t_{0}) = e^{- i {\hat{H}}_{F} [t_{0}] T}$ ，

（3）

那么我们可以得到描述系统的Floquet哈密顿量，

译

${\hat{H}}_{F} [t_{0}] = \frac{i l n (\hat{U} (t_{0} + T, t_{0}))}{T}$ 。

（4）

另外从上式中我们也可以看出，不同初始时刻的Floquet哈密顿量之间相差一个幺正变换，

译

${\hat{U}}^{†} (t_{1}, t_{0}) {\hat{H}}_{F} [t_{1}] \hat{U} (t_{1}, t_{0}) = {\hat{H}}_{F} [t_{0}]$ 。

（5）

2.2 Floquet矩阵

由于系统具有离散时间平移对称性，从而存在一个时间平移算符满足

译

$[\hat{H} (t) - i \partial_{t}, {\hat{O}}_{T} (n)] = 0 (\forall n \in Z)$ ，

（6）

其中 ${\hat{O}}_{T} (n) |ψ (t)> = |ψ (t + n T)>$ 是离散时间平移算符，这种对称性必然导致某种守恒量。类比于周期势场中Bloch波矢在第一布里渊区守恒，Floquet系统中准能量在“第一布里渊区”， $ϵ \in (- ω / 2, ω / 2), ω = 2 π / T$ ，也为守恒量。从而可以将薛定谔方程解的一般形式表示为：

译

$|ψ (t)> = \sum_{j = 1}^{n} c_{j} e^{- i ϵ_{j} t} |ϕ_{j} (t)>$ ，

（7）

其中 $|ϕ_{j} (t + T)> = |ϕ_{j} (t)>$ ，为时间维度的Bloch波矢。接下来，将 $\hat{H} (t)$ 和 $|ϕ>$ 的傅里叶展开形式带入到薛定谔方程中，整理并令等式两边不同频率项相等，可以得到

译

$\sum_{j = - \infty}^{+ \infty} {\hat{H}}_{j} |ϕ^{(m - j)}> = (ϵ + m ω) |ϕ^{(m)}>$ 。

（8）

最后将上式表示成矩阵形式

译

$(\begin{matrix} ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ \dots & {\hat{H}}_{0} + ω & {\hat{H}}_{- 1} & {\hat{H}}_{- 2} & \dots \\ \dots & {\hat{H}}_{1} & {\hat{H}}_{0} & {\hat{H}}_{- 1} & \dots \\ \dots & {\hat{H}}_{2} & {\hat{H}}_{1} & {\hat{H}}_{0} - ω & \dots \\ ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix}) (\begin{matrix} ⋮ \\ ϕ^{(- 1)} \\ ϕ^{(0)} \\ ϕ^{(1)} \\ ⋮ \end{matrix}) = ϵ (\begin{matrix} ⋮ \\ ϕ^{(- 1)} \\ ϕ^{(0)} \\ ϕ^{(1)} \\ ⋮ \end{matrix})$ 。

（9）

可以得到另一种形式的Floquet哈密顿量，即上式最左边的矩阵。

译

2.3 Floquet-Mugnus微扰展开

当体系驱动周期很短使得驱动频率为体系最大能量尺度时， $ω ≫ ‖{\hat{H}}_{j}‖$ ，可以将Floquet哈密顿量利用Floquet-Magnus微扰展开的方法投影到低能子空间，从而得到体系等效哈密顿量。令 ${\hat{H}}_{F} [t_{0}] \equiv {\hat{H}}_{F}^{(0)}$ $[t_{0}] + {\hat{H}}_{F}^{(1)} [t_{0}] + {\hat{H}}_{F}^{(2)} [t_{0}] + \dots$ ，然后分别将公式（2）和公式（3）泰勒展开，依次对比 $ω$ 的阶数从而得到

译

$\begin{matrix} {\hat{H}}_{F}^{(0)} [t_{0}] = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} \hat{H} (t) d t = {\hat{H}}_{0} \\ {\hat{H}}_{F}^{(1)} [t_{0}] = \frac{1}{2! T i} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} d t_{1} \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t_{2} [\hat{H} (t_{1}), \hat{H} (t_{2})] \\ = \frac{1}{ω} \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{j} ([{\hat{H}}_{j}, {\hat{H}}_{- j}] - e^{i j ω t_{0}} [{\hat{H}}_{j}, {\hat{H}}_{0}] + e^{- i j ω t_{0}} [{\hat{H}}_{- j}, {\hat{H}}_{0}]) \\ {\hat{H}}_{F}^{(2)} [t_{0}] = \frac{1}{3! T i^{2}} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} d t_{1} \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t_{2} \int_{t_{0}}^{t_{2}} d t_{3} \\ ([\hat{H} (t_{1}), [\hat{H} (t_{2}), \hat{H} (t_{3})]] + (1 \leftrightarrow 3)) \end{matrix}$ 。

（10）

从上式中可知等效哈密顿量的各阶依赖于初始时刻，然而我们可以通过幺正变换得到不依赖于初始时刻的等效哈密顿量 ${\hat{H}}_{F}$ 。此时演化算符表示为

译

$\hat{U} (t_{0} + T, t_{0}) = e^{- i \hat{K} [t_{0}]} e^{- i {\hat{H}}_{F} T} e^{i \hat{K} [t_{0}]}$ 。

（11）

类似的，通过定义 ${\hat{H}}_{F} \equiv {\hat{H}}_{F}^{(0)} + {\hat{H}}_{F}^{(1)} + {\hat{H}}_{F}^{(2)} + \dots, \hat{K} [t_{0}]$ $\equiv {\hat{K}}^{(0)} [t_{0}] + {\hat{K}}^{(1)} [t_{0}] + {\hat{K}}^{(2)} [t_{0}] + \dots$ ，最后得到，

译

$\begin{array}{l} {\hat{H}}_{F}^{(0)} = {\hat{H}}_{0} \\ {\hat{H}}_{F}^{(1)} = \frac{1}{ω} \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{j} [{\hat{H}}_{j}, {\hat{H}}_{- j}] \\ {\hat{H}}_{F}^{(2)} = \frac{1}{ω^{2}} \sum_{j \neq 0} (\begin{array}{l} \frac{[{\hat{H}}_{- j}, [{\hat{H}}_{0}, {\hat{H}}_{j}]]}{2 j^{2}} \\ + \sum_{j^{'} \neq 0, j} \frac{[{\hat{H}}_{- j^{'}}, [{\hat{H}}_{j^{'} - j}, {\hat{H}}_{j}]]}{3 j j^{'}} \end{array}) \\ {\hat{K}}^{(0)} [t_{0}] = 0 \\ {\hat{K}}^{(1)} [t_{0}] = \frac{1}{ω i} \sum_{j \neq 0} \frac{e^{i j ω t_{0}}}{j} {\hat{H}}_{j} \end{array}$ 。

（12）

另外从公式（12）中可以看出，等效哈密顿量 ${\hat{H}}_{F}$ 的各阶也可通过公式（9）中矩阵将高能部分投影到 ${\hat{H}}_{0}$ 子空间得到。关于级数收敛条件更加严格的讨论，可参考相关文章^［

37］。

译

3 动力学解耦

对于一个量子系统，由于其不可避免地受到环境影响，从而导致系统相干时间有限，寿命有限等问题^［

38-40］。继而会导致量子门保真度、纠缠态保真度下降等一系列有损量子计算、量子通信和量子精密测量的现象^{［参考文献 41-46

41-46］}。其中量子系统由于受到电磁场噪声影响导致退相干，这一现象通常在系统和环境耦合通道中具有最短时间尺度，所以延长量子系统相干时间是理论和实验上首要解决的问题^{［参考文献 47-50

47-50］}。

译

周期驱动的动力学解耦技术是目前延长系统相干时间最主要的手段。这种方法首先由Hahn在1950年提出，称为自旋回波（spin echo）^［

1］。如图2所示，考虑单个自旋体系感受到z方向的磁场噪声，

译

图2 自旋回波

Fig. 2 Spin echo

$x$ 表示自旋沿着 $x$ 轴旋转 $π$ 角度。

$x$ represents spin rotated by $π$ along the $x$ axis.

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

${\hat{H}}_{S B} = {\hat{σ}}^{z} \otimes B^{z}$ ，

（13）

其中 $σ^{z}$ 是体系自旋算符， $B^{z}$ 是外界磁场噪声强度。假设在时间为整数倍 $τ$ 时刻周期性对体系施加一个沿 $x$ 方向的 $π$ 脉冲，则系统演化为：

译

$\hat{U} = {(\hat{X} e^{- i {\hat{σ}}^{z} \otimes B^{z} τ} \hat{X} e^{- i {\hat{σ}}^{z} \otimes B^{z} τ})}^{N} = I$ 。

（14）

由上式可以看出通过自旋回波的方法有效解除了系统和环境之间的耦合。然而一个很自然的问题是，当实验上磁场噪声方向不确定时如何有效地将系统和环境解耦？此时系统和环境耦合形式如下，

译

${\hat{H}}_{S B} = \hat{\overset{⇀}{σ}} \otimes \overset{⇀}{B}$ ，

（15）

比较通用的解耦方法如图3所示，称为XY-4脉冲序列^［

51］，

译

图3 XY-4动力学解耦

Fig. 3 XY-4 Dynamical decoupling

$x$ ， $y$ 分别表示自旋沿着 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转 $π$ 角度。

$x$ ， $y$ represent spin rotated by $π$ along the $x$ axis and $y$ axis， respectively.

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

则系统在这样的周期驱动下演化为：

译

$\begin{array}{l} \hat{U} = {(\hat{Y} e^{- i \hat{\overset{⇀}{σ}} \otimes \overset{⇀}{B} τ} \hat{X} e^{- i \hat{\overset{⇀}{σ}} \otimes \overset{⇀}{B} τ} \hat{Y} e^{- i \hat{\overset{⇀}{σ}} \otimes \overset{⇀}{B} τ} \hat{X} e^{- i \hat{\overset{⇀}{σ}} \otimes \overset{⇀}{B} τ})}^{N} \\ = {(\hat{Y} e^{- i \hat{\overset{⇀}{σ}} \otimes \overset{⇀}{B} τ} \hat{Y} \hat{Z} e^{- i \hat{\overset{⇀}{σ}} \otimes \overset{⇀}{B} τ} \hat{Z} \hat{X} e^{- i \hat{\overset{⇀}{σ}} \otimes \overset{⇀}{B} τ} \hat{X} e^{- i \hat{\overset{⇀}{σ}} \otimes \overset{⇀}{B} τ})}^{N} \\ = I + O (τ^{2}) \end{array}$ 。

（16）

从上式中可以得到，当脉冲间隔时间 $τ$ 非常短时，可以有效地将系统和环境之间最低阶耦合解除，然而系统和环境之间依然存在 $O (τ^{2})$ 阶的耦合。更进一步地，从公式（10）中得到启发，当脉冲序列具有更高对称性时，可以将系统和环境之间更高阶耦合解除。例如对称化的XY-4脉冲，如图4所示，

译

图4 对称化XY-4动力学解耦

Fig. 4 Symmetrized XY-4 dynamical decoupling

$x$ ， $y$ 分别表示自旋沿着 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转 $π$ 角度。

$x$ ， $y$ denote spin rotated by $π$ along the $x$ axis and $y$ axis， respectively.

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

在toggling坐标系下，图4中各个 $τ$ 时间段的哈密顿量为

译

$\begin{array}{l} {\hat{H}}_{1} = B_{x} {\hat{σ}}_{x} + B_{y} {\hat{σ}}_{y} + B_{z} {\hat{σ}}_{z} \\ {\hat{H}}_{2} = B_{x} {\hat{σ}}_{x} - B_{y} {\hat{σ}}_{y} - B_{z} {\hat{σ}}_{z} \\ {\hat{H}}_{3} = - B_{x} {\hat{σ}}_{x} - B_{y} {\hat{σ}}_{y} + B_{z} {\hat{σ}}_{z} \\ {\hat{H}}_{4} = - B_{x} {\hat{σ}}_{x} + B_{y} {\hat{σ}}_{y} - B_{z} {\hat{σ}}_{z} \\ {\hat{H}}_{5} = - B_{x} {\hat{σ}}_{x} + B_{y} {\hat{σ}}_{y} - B_{z} {\hat{σ}}_{z} \\ {\hat{H}}_{6} = - B_{x} {\hat{σ}}_{x} - B_{y} {\hat{σ}}_{y} + B_{z} {\hat{σ}}_{z} \\ {\hat{H}}_{7} = B_{x} {\hat{σ}}_{x} - B_{y} {\hat{σ}}_{y} - B_{z} {\hat{σ}}_{z} \\ {\hat{H}}_{8} = B_{x} {\hat{σ}}_{x} + B_{y} {\hat{σ}}_{y} + B_{z} {\hat{σ}}_{z} \end{array}$

（17）

从上式中可以看出 ${\hat{H}}_{n} = {\hat{H}}_{9 - n}$ ，具有比公式（16）中所含哈密顿量序列更高的对称性。经过计算可知对称化的XY-4脉冲序列能够将系统和环境之间耦合解除到 $O (τ^{3})$ 阶数。更一般地利用对称性解耦高阶耦合的方法称为嵌套动力学解耦（concatenated dynamical decoupling）^［

4-5］，例如当

${\hat{U}}^{(1)} (T_{1}) = f_{τ} X f_{τ} Y f_{τ} X f_{τ} Y$ 时，二阶嵌套脉冲序列为

${\hat{U}}^{(2)} (T_{2}) = {\hat{U}}^{(1)} (T_{1}) X {\hat{U}}^{(1)} (T_{1})$

$Y {\hat{U}}^{(1)} (T_{1}) X {\hat{U}}^{(1)} (T_{1}) Y$ ，依次类推，可以得到系统和环境更高阶解耦的结果。

译

以上所介绍的解耦方法均利用离散形式脉冲，然而这种解耦方法需要控制场功率较大。为了克服这个问题，提出了一系列利用连续控制场动力学解耦的方法^［

8-15］。如图5所示^{［参考文献 14

百度学术

14］}，考虑单个自旋受到

$z$ 方向的磁场噪声，控制场沿

$x$ 方向，则系统在一个周期内的演化为：

译

$\hat{U} = e^{- i h 4 τ {\hat{σ}}_{x}} \hat{𝒯} e^{- i \int_{2 τ}^{4 τ} {\hat{H}}_{R}^{2} (t) d t} e^{i h 2 τ {\hat{σ}}_{x}} e^{i h 2 τ {\hat{σ}}_{x}} \hat{𝒯} e^{- i \int_{0}^{2 τ} {\hat{H}}_{R}^{1} (t) d t}$ ，

（18）

其中 ${\hat{H}}_{R}^{j} = {\hat{σ}}_{z} c o s (ω t) + {(- 1)}^{j} {\hat{σ}}_{y} s i n (ω t)$ 。这样经过一个周期后，系统有效演化算符为：

译

$\hat{U} = e^{- i O ({B_{z}}^{2} / h^{2}) T {\hat{σ}}_{n}}$ 。

（19）

从上式中可以看出，经过连续控制动力学解耦之后，有效地将系统和环境之间耦合强度降低到 $O ({B_{z}}^{2} / h^{2}) B_{z}$ 。

译

图5 连续控制动力学解耦

Fig. 5 Continuous dynamical decoupling

$h$ 和 $- h$ 分别表示沿 $x$ 轴和 $- x$ 功率为 $h$ 的控制场。一个周期 $T = 4 τ$ ，并且满足 $h τ = π$ 。

$h$ and $- h$ here denote control field with power h along the $x$ a x is and $- x$ axis， respectively. The period $T = 4 τ$ ， and $h τ = π$ .

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

然而以上两种方法均需要一个很大的偏置磁场，我们最近提出了一种不需要偏置磁场的动力学解耦方法^［

16］，如图6所示。

译

图6 零偏置磁场下动力学解耦

Fig. 6 Dynamical decoupling at zero bias

左边表示控制场波形，右边表示处于噪声环境中系统自旋在控制场下的运动轨迹。

The left side depicts the control field waveform， while the right side depicts the trajectory of the spin of the system within noise under the control field.

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

系统在环境噪声和控制场下哈密顿量为：

译

$\hat{H} = B_{z} {\hat{σ}}_{z} + Ω c o s (ω t + φ) {\hat{σ}}_{x}$ 。

（20）

上式在旋转坐标系 $\hat{U} = e^{i \int_{0}^{t} Ω c o s (ω τ + φ) {\hat{σ}}_{x} d τ}$ 下，

译

${\hat{H}}_{r} = B_{z} \sum_{n = - \infty}^{\infty} [𝒥_{2 n} e^{i 2 n (ω t + φ)} {\hat{σ}}_{z} - i 𝒥_{2 n + 1} e^{i (2 n + 1) (ω t + φ)} {\hat{σ}}_{y}]$ ，

（21）

其中 $𝒥_{2 n}$ 是贝塞尔函数。当频率 $ω$ 很大时，在高频极限下得到有效哈密顿量为：

译

${\hat{H}}_{e f f} = B_{z} 𝒥_{0} (Ω / ω) {\hat{σ}}_{z}$ 。

（22）

可以发现，当 $𝒥_{0} (Ω / ω) = 0$ 时，系统和环境之间完美解耦。

译

4 量子物态

周期驱动作为实现新奇量子物态的一种调控手段，正如第1节中所介绍那样，不仅丰富了实验手段，而且使我们观测到了静态系统中较难以观测甚至不存在的物理现象。接下来我们将从反常体边对应，动力学规范场以及离散时间晶体三方面具体讨论周期调控在实现新奇量子物态方面的应用。

译

4.1 反常体边对应

对于周期驱动体系，可以定义等效哈密顿量，

译

$e^{- i {\hat{H}}_{F} (α_{1}) T} = \hat{𝒯} e^{- i \int_{α_{1} / ω}^{(2 π + α_{1}) / ω} \hat{H} (t) d t}$ ，

（23）

其中 $ω = 2 π / T$ ， $α_{1} / ω$ 是处理周期驱动的初始时刻。当选择不同的初始时刻时，我们还可以定义另一个等效哈密顿量，

译

$e^{- i {\hat{H}}_{F} (α_{2}) T} = \hat{𝒯} e^{- i \int_{α_{2} / ω}^{(2 π + α_{2}) / ω} \hat{H} (t) d t}$ 。

（24）

从公式（23）和公式（24）可以看出，

译

$e^{- i {\hat{H}}_{F} (α_{1}) T} = {\hat{U}}^{†} (α_{2}, α_{1}) e^{- i {\hat{H}}_{F} (α_{2}) T} \hat{U} (α_{2}, α_{1})$ ，

（25）

其中 $\hat{U} (α_{2}, α_{1}) = \hat{𝒯} e^{- i \int_{α_{1} / ω}^{α_{2} / ω} \hat{H} (t) d t}$ 。不同初始时刻的等效哈密顿量之间差一个幺正变换，这和公式（5）的结论一致，只是更换了参数的标记。从这里可以看出，尽管不同 $α$ 时刻的等效哈密顿量 ${\hat{H}}_{F} (α)$ 具有相同的本征值，但是它们的本征态之间差一个幺正变换。所以对于固定 $α$ 的等效哈密顿量 ${\hat{H}}_{F} (α)$ 不能对周期驱动系统给出完整的信息。比如在周期驱动的系统中，虽然 ${\hat{H}}_{F} (α)$ 是拓扑平庸的，但是体系却存在边缘态，称为反常体边对应。

译

所以为了正确描述反常体边对应就不仅仅需要固定初始时刻的等效哈密顿量 ${\hat{H}}_{F} (α)$ 的信息。之前的工作中为了将一个周期之内的信息包含进来，利用了演化算符 $\hat{U} (t) = \hat{𝒯} e^{- i \int_{0}^{t} \hat{H} (τ) d τ}$ 来构造拓扑数，但是由于 $\hat{U} (t)$ 本身不具有周期性， $\hat{U} (0) \neq \hat{U} (T)$ ，所以还需要构造额外的算符以保证在时间维度具有周期边界条件，从而拓扑数才有良好的定义。我们在一篇工作中提出等效哈密顿量集合 $\{{\hat{H}}_{F} (α),$ $α \subset [0,2 π]\}$ 在补全周期驱动体系信息的同时，由于 ${\hat{H}}_{F} (α)$ 在 $α$ 方向本身具有周期性， ${\hat{H}}_{F} (0) = {\hat{H}}_{F} (2 π)$ ，从而可以直接定义体系的拓扑数^［

52］。

译

我们考虑周期驱动的 $d$ 维哈密顿量 $\hat{H} (k_{1}, \dots,$ $k_{d}, t)$ ，对应的等效哈密顿量集合为 ${{\hat{H}}_{F} (k_{1}, \dots, k_{d},$ $α), α \subset [0,2 π]}$ 。将等效哈密顿量集合看作 $d + 1$ 维的哈密顿量 $\hat{H} (k_{1}, \dots, k_{d}, k_{d + 1})$ ，如图7（a）所示。定义 $k_{R} = {k_{2}, \dots, k_{d + 1}}$ ， $R = {R_{2}, \dots, R_{d + 1}}$ 。如图7（b）所示，当沿 $R_{1}$ 方向采用开边界条件，沿 $R$ 方向采取周期边界条件时，体边对应是说如果哈密顿量 $\hat{H} (k_{1}, \dots, k_{d + 1})$ 的拓扑数不为0，那么系统在边界 $R$ 上存在表面态。表面态对应能谱随好量子数 $k_{R}$ 的色散关系如图7（c）所示，一个突出的特征是能谱沿 $k_{d + 1}$ 方向的色散为0，这是由于不同参数 $k_{d + 1} (α)$ 下的等效哈密顿量之间只是差一个幺正变换。所以如果这样的表面态存在，那么它们沿 ${k_{2}, \dots, k_{d}}$ 方向的色散关系对于任一给定的 $k_{d + 1}$ 都是一样的。这就是说，当沿 $R_{1}$ 方向为开边界条件时，给定 $α$ 的等效哈密顿量也会存在边缘态。以上的讨论表明， $(d + 1)$ 维哈密顿量的拓扑能够保护 $(d - 1)$ 维的边缘态。由于构造拓扑数的这一额外维度来源于周期驱动体系的微运动参数，所以我们称它为“拓扑微运动参数”。

译

图 7 微运动参数构造拓扑不变量示意图

Fig. 7 Scheme of constructing topological number with micro-motion

（a）哈密顿量集合 ${{\hat{H}}_{F} (k_{1}, \dots, k_{d}, α), α \subset [0,2 π]}$ 可以被看作 $(d + 1)$ 维的哈密顿量 $\hat{H} (k_{1}, \dots, k_{d}, k_{d + 1})$ ， $k_{R}$ 表示 ${k_{2}, \dots, k_{d + 1}}$ ；（b）对应于动量空间的实空间几何。 $R_{1}$ 方向开边界， $R = {R_{2}, \dots, R_{d + 1}}$ 方向满足周期边界条件；（c）对应于（b）的色散关系。 $k_{2}, k_{3}, \dots, k_{d + 1}$ 是好量子数， $k_{d + 1}$ 方向的色散为0。

（a） The set of Hamiltonians ${{\hat{H}}_{F} (k_{1}, \dots, k_{d}, α), α \subset [0,2 π]}$ can be considered as a $(d + 1)$ dimensional Hamiltonian $\hat{H} (k_{1}, \dots, k_{d}, k_{d + 1})$ ， $k_{R}$ denotes ${k_{2}, \dots, k_{d + 1}}$ ；（b） The real space geometry corresponding to momentum space. Open boundaries implemented in the $R_{1}$ direction， while periodic boundary conditions are satisfied in the $R = {R_{2}, \dots, R_{d + 1}}$ directions；（c） The dispersion relation corresponding to（b）. $k_{2}, k_{3}, \dots, k_{d + 1}$ are good quantum numbers， and the dispersion in the $k_{d + 1}$ direction is zero

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

这里我们还要强调的一点是，由包含微运动参数的哈密顿量 $\hat{H} (k_{1}, \dots, k_{d + 1})$ 所构造的拓扑数强烈地受制于具有不同 $k_{d + 1}$ 的哈密顿量之间只差一个幺正变换，而且哈密顿量沿 $k_{d + 1}$ 方向的色散为0，从而排除了边缘态对应哈密顿量的色散为狄拉克类型的体系。

译

以上所建立的理论可以很好地解释Wintersperger K等人的实验结果^［

28］。实验过程可由以下哈密顿量模拟，

译

$\hat{H} = J_{1} (\begin{matrix} 0 & e^{i k \cdot d_{1}} \\ h . c . & 0 \end{matrix}) + J_{2} (\begin{matrix} 0 & e^{i k \cdot d_{2}} \\ h . c . & 0 \end{matrix}) + J_{3} (\begin{matrix} 0 & e^{i k \cdot d_{3}} \\ h . c . & 0 \end{matrix})$ ，

（26）

其中 $d_{1} = [- 1,0], d_{2} = [1 / 2, \sqrt[]{3} / 2], d_{3} = [1 / 2, - \sqrt[]{3} / 2]$ ， $J_{1} = e^{c o s (ω t)}, J_{2} = e^{c o s (ω t + 2 π / 3)}, J_{3} = e^{c o s (ω t + 4 π / 3)}$ 。当驱动频率 $ω = 2 π$ 时，上式周期驱动体系对应等效哈密顿量的乘数为0。但是根据我们理论中所构造的Hopf数（linking数）如图8（a）所示并不为0^［

52］，说明此时周期驱动体系为拓扑非平庸。给定

$α$ 时，等效哈密顿量

${\hat{H}}_{F} (k_{1}, k_{2}, α)$ 的能谱如图8（b）所示。（c，d）中显示了对应于（b）中能谱为0和

$π / T$ 处边缘态在实空间的分布情况。可以看出Hopf不变量很好地解释了实验上反常体边对应的结果。

译

图 8 周期驱动二维六角晶格拓扑不变量

Fig. 8 Topological number of periodically driving 2D hexagonal lattice

对应于实验模型的Linking数（a），能谱（b），边界态（c，d）

；

（a）布洛赫球面沿 $x$ 轴正方向（蓝色）和 $z$ 轴正方向（红色）一点在动量空间的原像；（b）对于给定 $α$ 时，二维等效哈密顿量 ${\hat{H}}_{F} (k_{1}, k_{2}, α)$ 的能谱。哈密顿量 $\hat{H}$ 中， $J_{1} = e^{c o s (ω t)}, J_{2} = e^{c o s (ω t + 2 π / 3)}, J_{3} = e^{c o s (ω t + 4 π / 3)}$ ；（c，d）对应于（b）中虚线处边缘态在实空间的分布情况，（c）中边缘态的能量为0；（d）中边缘态能量为 $π / T$ 。

Linking number（a）， energy spectrum（b），and edge states（c，d）corresponding to the experimental model

;

（a）The preimage of the point in Bloch sphere along the positive x-axis （blue） and the positive z axis （red） in momentum space；（b）The energy spectrum of the two-dimensional effective Hamiltonian ${\hat{H}}_{F} (k_{1}, k_{2}, α)$ for fixed $α$ . The Hamiltonian $\hat{H}$ with $J_{1} = e^{c o s (ω t)}, J_{2} = e^{c o s (ω t + 2 π / 3)}, J_{3} = e^{c o s (ω t + 4 π / 3)}$ ；（c， d） correspond to the probability distribution of edge states in real space for parameters depicted by the dashed line in （b），（c）the energy of the edge states is 0；（d） the energy of the edge states is $π / T$ .

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

4.2 动力学规范场

在冷原子气体中考虑两束对打的拉曼光，如图9所示^［

53］。当不考虑原子间相互作用时，单粒子哈密顿量为：

译

${\hat{H}}_{S} = - \frac{ℏ^{2} \nabla^{2}}{2 m} + \frac{h}{2} {\hat{σ}}_{z} + ℏ Ω c o s (2 k_{r} x - ω t) {\hat{σ}}_{x}$ ，

（27）

其中， $h$ 是自旋上和自旋下之间的Zeeman能级劈裂， $k_{r}$ 是激光的波矢， $Ω$ 是拉曼光的强度， $ω$ 是两束激光之间的频率差。上述哈密顿量经过幺正变换 $\hat{R} = e^{i ℏ ω {\hat{σ}}_{z} t / 2}$ 得到

译

${\hat{H}}_{S}^{R} = - \frac{ℏ^{2} \nabla^{2}}{2 m} + δ {\hat{σ}}_{z} + \frac{ℏ Ω}{4} (e^{i 2 k_{r} x} {\hat{σ}}^{+} + e^{- i 2 k_{r} x} {\hat{σ}}^{-}) + \frac{ℏ Ω}{4} (e^{- i 2 k_{r} x + i 2 ω t} {\hat{σ}}^{+} + e^{i 2 k_{r} x - i 2 ω t} {\hat{σ}}^{-})$ ，

（28）

当 $ℏ ω$ 和 $h$ 共振时，旋转波近似后上式哈密顿量简化为

译

${\hat{H}}_{e f f} = - \frac{ℏ^{2} \nabla^{2}}{2 m} + δ {\hat{σ}}_{z} + \frac{ℏ Ω}{4} (e^{i 2 k_{r} x} {\hat{σ}}^{+} + e^{- i 2 k_{r} x} {\hat{σ}}^{-})$ ，

（29）

然后再经过一个规范变换 $\hat{U} = e^{- i k_{r} x {\hat{σ}}_{z}}$ ，可以得到，

译

${\hat{H}}_{e f f} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} (- i \nabla + k_{r} {\hat{σ}}_{z})^{2} + δ {\hat{σ}}_{z} + \frac{ℏ Ω}{2} {\hat{σ}}_{x}$ 。

（30）

此即通常的自旋轨道耦合哈密顿量。

译

图 9 简并量子气体实现动力学规范场示意图

Fig. 9 Scheme of realizing dynamical gauge field in the degenerate quantum gases

（a）两束沿着 $x$ 轴方向对打的拉曼光作用在简并量子气体。其中一束激光的频率为 $ω_{0}$ ，偏振沿着 $y$ 轴方向；另一束激光的频率为 $ω_{0} + ω$ ，偏振沿着 $z$ 轴方向。偏置磁场沿着 $z$ 轴方向，Feshbach共振调节下不同自旋之间的相互作用为 $g c o s (2 ω t) {\hat{n}}_{↑} (r) {\hat{n}}_{↓} (r)$ ；（b）直接拉曼过程。原子自旋下翻转到自旋上同时增加 $2 k_{r}$ 的动量；（c）相互作用辅助拉曼过程。原子自旋下翻转到自旋上同时减少 $2 k_{r}$ 的动量。

（a） Two Raman beams interact with the degenerate quantum gas along the $x$ axis. One with frequency $ω_{0}$ and polarized along the $y$ axis， while the other with frequency $ω_{0} + ω$ and polarized along the $z$ axis. The external magnetic field is along z axis. The interaction between different spins is given by $g c o s (2 ω t) {\hat{n}}_{↑} (r) {\hat{n}}_{↓} (r)$ under the tuning of Feshbach resonance；（b） The direct Raman process， where atomic spins flip from down to up and gain $2 k_{r}$ momentum；（c） The interaction-assisted Raman process， where atomic spins flip from down to up and lose $2 k_{r}$ momentum

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

当考虑周期调控的原子间相互作用 $g c o s (2 ω t)$ ${\hat{n}}_{↑} (r) {\hat{n}}_{↓} (r)$ 时，会比通常的自旋轨道耦合拥有更丰富的物理图像。在这种情况下，将 $<{\hat{n}}_{↑} (r) + {\hat{n}}_{↓} (r)>$ 当作常数是一种非常好的近似，所以相互作用哈密顿量可以写为，

译

$- \frac{g}{4} c o s (2 ω t) ({\hat{n}}_{↑} (r) - {\hat{n}}_{↓} {(r))}^{2}$ 。

（31）

接下来，利用Hartree-Fock平均场近似，相互作用部分简化为，

译

$({\hat{n}}_{↑} (r) - {\hat{n}}_{↓} {(r))}^{2} \approx 2 n_{0} M_{z} (r) ({\hat{n}}_{↑} (r) - {\hat{n}}_{↓} (r))$ ，

（32）

其中 $M_{z} (r) = <{\hat{n}}_{↑} (r) - {\hat{n}}_{↓} (r)> / n_{0}$ ， $n_{0} = N / V$ 。最后可以将总的哈密顿量写为：

译

${\hat{H}}_{M F} = {\hat{H}}_{S} - \frac{g}{2} n_{0} M_{z} (r) {\hat{σ}}_{z} c o s (2 ω t)$ 。

（33）

接下来首先对哈密顿量 ${\hat{H}}_{M F}$ 做一个幺正变换，

译

$\hat{R} = e^{\frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d t^{'} [\frac{ℏ ω}{2} {\hat{σ}}_{z} - \frac{g n_{0} M_{z}}{2} {\hat{σ}}_{z} c o s (2 ω t^{'})]}$ ，

（34）

可以得到

译

${\hat{H}}_{M F}^{R} = - \frac{ℏ^{2} \nabla^{2}}{2 m} + δ {\hat{σ}}_{z} + ℏ Ω c o s (2 k_{r} x - ω t) \times (\begin{matrix} 0 & e^{i [ω t - \frac{λ M_{z}}{2} s i n (2 ω t)]} \\ h . c . & 0 \end{matrix})$ ，

（35）

其中 $δ = (h - ℏ ω) / 2, λ = g n_{0} / (ℏ ω)$ 。为了简单起见，我们假设 $M_{z}$ 是一个常数，假设的合理性可以由数值结果得到验证。则在高频极限下，保留到0阶的等效哈密顿量为：

译

${\hat{H}}_{e f f} = - \frac{ℏ^{2} \nabla^{2}}{2 m} + δ {\hat{σ}}_{z} + \frac{ℏ Ω}{2} \times (\begin{matrix} 0 & 𝒥_{0} (\frac{λ M_{z}}{2}) e^{i 2 k_{r} x} + 𝒥_{1} (\frac{λ M_{z}}{2}) e^{- i 2 k_{r} x} \\ h . c . & 0 \end{matrix})$ 。

（36）

为了更加清楚地阐明密度依赖的自旋轨道耦合的物理图像，我们从两个极限角度分析这一过程。其一，当体系原子密度较低或者周期调控强度较小时， $λ \to 0$ 从而 $𝒥_{0} \to 1, 𝒥_{1} \to 0$ 。此时，可以忽略 $𝒥_{1}$ ，并且经过一个规范变换 ${\hat{U}}_{(+)} = e^{- i k_{r} x {\hat{σ}}_{z}}$ 后，公式（36）中的等效哈密顿量简化为：

译

${\hat{H}}_{e f f}^{(+)} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} (- i \nabla + k_{r} {\hat{σ}}_{z})^{2} + δ {\hat{σ}}_{z} + \frac{ℏ Ω_{0}}{2} {\hat{σ}}_{x}$ ，

（37）

其中 $Ω_{0} = Ω 𝒥_{0} (λ M_{z} / 2)$ 。这个哈密顿量和公式（27）所揭示的通常情况下的自旋轨道耦合，除了差一个重整化系数 $𝒥_{0} (λ M_{z} / 2)$ 外，是完全一样的，称为直接拉曼过程，即原子自旋从下翻转到上的同时，增加 $2 ℏ k_{r}$ 的动量；自旋从上翻转到下的同时，减少 $2 ℏ k_{r}$ 的动量。其二，随着 $λ$ 的增加， $𝒥_{1}$ 逐渐增大， $𝒥_{0}$ 逐渐减小。此时，可以忽略 $𝒥_{0}$ ，并且经过一个规范变换 ${\hat{U}}_{(-)} = e^{i k_{r} x {\hat{σ}}_{z}}$ 后，公式（36）中的等效哈密顿量简化为：

译

${\hat{H}}_{e f f}^{(-)} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} (- i \nabla - k_{r} {\hat{σ}}_{z})^{2} + δ {\hat{σ}}_{z} + \frac{ℏ Ω_{1}}{2} {\hat{σ}}_{x}$ 。

（38）

比较公式（37）和（38）可以看到，螺旋度从 $k_{r} {\hat{σ}}_{z}$ 变为了 $- k_{r} {\hat{σ}}_{z}$ ，表明公式（38）揭示了和直接拉曼过程（37）完全相反的物理图像，即原子自旋从下翻转到上的同时，减少 $2 ℏ k_{r}$ 的动量；自旋从上翻转到下的同时，增加 $2 ℏ k_{r}$ 的动量。然而我们发现，在自旋翻转的过程中，初态和末态之间差一个 $2 ℏ ω$ 的能量，这个能量刚好可以由以频率为 $2 ω$ 周期振荡的相互作用所提供。所以结合周期振荡相互作用和拉曼光的方法称为相互作用辅助拉曼过程。综上，可以看出，当原子间相互作用较小时，主要发生的过程为直接拉曼过程；当相互作用较大时，相互作用辅助的拉曼过程占主导。

译

4.3 离散时间晶体

考虑周期驱动的一维自旋链，如图10所示^［

54］，

译

图 10 周期驱动一维自旋链实现拓扑保护边缘离散时间晶体

Fig. 10 Topologically protected discrete time crystal in a 1D spin chain

（a）一维自旋链；（b） Majorana表象下的一维自旋链；（c） Majorana表象下Floquet演化算符的准能谱 $e^{- i ε_{μ} T}$ ；（d）自旋算符表象下Floquet演化算符的准能谱。

（a） 1D spin chain；（b） 1D spin chain under Majorana representation；（c） The quasi-energy spectrum $e^{- i ε_{μ} T}$ of Floquet evolution operator under Majorana representation；（d） The quasi-energy spectrum of Floquet evolution operator under spin representation

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

体系哈密顿量为：

译

$\hat{H} (t) = \{\begin{array}{l} {\hat{H}}_{1}, & f o r n T ⩽ t < n T + t_{1} \\ {\hat{H}}_{2}, & f o r n T + t_{1} ⩽ t < (n + 1) T \end{array}$ ，

（39）

其中，

译

${\hat{H}}_{m} = J_{m}^{x x} \sum_{j} {\hat{X}}_{j} {\hat{X}}_{j + 1} + J_{m}^{y y} \sum_{j} {\hat{Y}}_{j} {\hat{Y}}_{j + 1} + J_{m}^{x y} {\sum_{j} \hat{X}}_{j} {\hat{Y}}_{j + 1} + J_{m}^{y x} \sum_{j} {\hat{Y}}_{j} {\hat{X}}_{j + 1} + h_{m}^{z} \sum_{j} {\hat{Z}}_{j}$ ，

（40）

${\hat{X}}_{j}, {\hat{Y}}_{j}, {\hat{Z}}_{j}$ 是自旋算符， $m = 1,2$ 代表第 $m$ 时间段的哈密顿量。上述哈密顿量经过Jordan-Wigner变换后，在Majorana表象下表示为：

译

${\hat{H}}_{m} = 2 (J_{m}^{x x} \sum_{j} i {\hat{γ}}_{j, 2} {\hat{γ}}_{j + 1,1} - J_{m}^{y y} \sum_{j} i {\hat{γ}}_{j, 1} {\hat{γ}}_{j + 1,2} + J_{m}^{x y} \sum_{j} i {\hat{γ}}_{j, 2} {\hat{γ}}_{j + 1,2} - J_{m}^{y x} \sum_{j} i {\hat{γ}}_{j, 1} {\hat{γ}}_{j + 1,1} + J_{m}^{z} \sum_{j} i {\hat{γ}}_{j, 2} {\hat{γ}}_{j, 1})$ 。

（41）

进一步经过傅里叶变换后得到动量空间的哈密顿量，

译

${\hat{H}}_{m} = \sum_{k} (\begin{matrix} {\hat{γ}}_{k, 1}^{†} & {\hat{γ}}_{k, 2}^{†} \end{matrix}) [d_{m}^{0} (k) I + {\overset{⇀}{d}}_{m} (k) \cdot \overset{⇀}{σ}] (\begin{matrix} {\hat{γ}}_{k, 1} \\ {\hat{γ}}_{k, 2} \end{matrix})$ ，

（42）

其中

译

$\begin{array}{l} d_{m}^{0} (k) = (J_{m}^{y x} - J_{m}^{x y}) s i n (k) \\ d_{m}^{x} (k) = (J_{m}^{y y} - J_{m}^{x x}) s i n (k) \\ d_{m}^{y} (k) = J_{m}^{z} + (J_{m}^{x x} + J_{m}^{y y}) c o s (k) \\ d_{m}^{z} (k) = (J_{m}^{x y} + J_{m}^{y x}) s i n (k) \end{array}$ 。

（43）

由于每个时间段的哈密顿量都是二次型的，所以Floquet哈密顿量也是二次型，可以表示为

译

${\hat{H}}_{F} = \frac{1}{2} {\hat{Ψ}}^{†} H_{F} \hat{Ψ}$ ，

（44）

其中 ${\hat{Ψ}}^{†} = (\begin{matrix} {\hat{γ}}_{1,1} & {\hat{γ}}_{1,2} & {\hat{γ}}_{2,1} & {\hat{γ}}_{2,2} & . . . \end{matrix})$ 。由于上式具有粒子空穴对称性，所以如果 $H_{e f f} | V_{μ}> = ϵ_{μ} | V_{μ}>$ 那么存在 $| V_{μ}^{*}>$ 满足 $H_{e f f} | V_{μ}^{*}> = - ϵ_{μ} | V_{μ}^{*}>$ 。最后可以将公式（44）表示为

译

${\hat{H}}_{F} = \sum_{ϵ_{μ} > 0} ϵ_{μ} ({\hat{α}}_{μ}^{†} {\hat{α}}_{μ} - \frac{1}{2})$ ，

（45）

系统能谱则为

译

$\begin{array}{l} E = <{\hat{H}}_{F}> = \sum_{ϵ_{μ} > 0} ϵ_{μ} (<α_{μ}^{†} α_{μ}> - \frac{1}{2}) \\ = E_{0} + \sum_{μ} ϵ_{μ} n_{μ} \end{array}$ ，

（46）

其中 $E_{0} = - \sum_{ϵ_{μ} > 0} ϵ_{μ} / 2$ 是系统的基态能量。根据4.1节所介绍的拓扑能带理论，当公式（42）中哈密顿量在 $π$ 模处具有非平庸拓扑时，系统在是空间具有 $π / T$ 的准能量激发。

译

接下来我们考虑第一个位置观测算符为 ${\hat{X}}_{1}$ 的演化，

译

$\begin{array}{l} <{\hat{X}}_{1} (n T)> = <ψ (0) | {\hat{U}}_{T}^{- n} {\hat{γ}}_{1} {\hat{U}}_{T}^{n} | ψ (0)> \\ = {(- 1)}^{n} \sum_{η = 1}^{n_{e d g e}} 2 R e (| {W_{η}>}_{1} <ψ (0) | {\hat{β}}_{π, η} | ψ (0)>) \\ + \sum_{ϵ_{μ} \neq π / T} 2 R e (| {V_{μ}>}_{1} e^{2 i ϵ_{μ}} <ψ (0) | {\hat{α}}_{μ} | ψ (0)>) \end{array}$ ，

（47）

其中 ${\hat{β}}_{π, η}, {\hat{α}}_{μ}$ 分别为 $π / T$ 的准能量激发和其它准能量的激发。从上式中可以看到，如果体系存在 $π / T$ 的准能量激发，则在边缘处存在两倍于驱动周期的稳定响应。此即边缘离散时间晶体。

译

5 总结与展望

我们从处理周期调控的一般性Floquet理论出发，简要回顾了近几年动力学解耦技术的发展以及在延长体系相干性方面的应用，并且从反常体边对应，动力学规范场以及离散时间晶体三方面具体讨论了周期驱动的冷原子体系在实现新奇量子物态方面的应用。然而周期驱动理论依然有很多值得研究的问题，比如如何将系统和有一定颜色的噪声环境解耦，如何发展低频率、高强度驱动的周期驱动理论，如何发展开放体系中的周期驱动理论，以及如何利用微运动参数构造其它维度的拓扑不变量，如何将动力学规范场推广到更高维度等。未来希望通过解决这一系列问题不断完善周期驱动理论，使其在解析形式上具有更广的应用范围。

译

参考文献

HAHN E L. Spin Echoes［J/OL］. Physical Review， 1950， 80（4）： 580-594［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRev.80.580. [百度学术]

CARR H Y， PURCELL E M. Effects of Diffusion on Free Precession in Nuclear Magnetic Resonance Experiments［J/OL］. Physical Review， 1954， 94（3）： 630-638［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRev.94.630. [百度学术]

MEIBOOM S， GILL D. Modified Spin-Echo Method for Measuring Nuclear Relaxation Times［J/OL］. Review of Scientific Instruments， 1958， 29（8）： 688-691［2023-11-14］. DOI：10.1063/1.1716296. [百度学术]

KHODJASTEH K， LIDAR D A. Fault-Tolerant Quantum Dynamical Decoupling［J/OL］. Physical Review Letters， 2005， 95（18）： 180501［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevLett.95.180501. [百度学术]

ZHANG W， KONSTANTINIDIS N P， DOBROVITSKI V V， et al. Long-time electron spin storage via dynamical suppression of hyperfine-induced decoherence in a quantum dot［J/OL］. Physical Review B， 2008， 77（12）： 125336［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevB.77.125336. [百度学术]

UHRIG G S. Keeping a Quantum Bit Alive by Optimized π-Pulse Sequences［J/OL］. Physical Review Letters， 2007， 98（10）： 100504［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevLett.98.100504. [百度学术]

YAO Q， ZHANG J， YI X F， et al. Uniaxial Dynamical Decoupling for an Open Quantum System［J/OL］. Physical Review Letters， 2019， 122（1）： 010408［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevLett.122.010408. [百度学术]

FANCHINI F F， HORNOS J E M， NAPOLITANO R D J. Continuously decoupling single-qubit operations from a perturbing thermal bath of scalar bosons［J/OL］. Physical Review A， 2007， 75（2）： 022329［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevA.75.022329. [百度学术]

FANCHINI F F， HORNOS J E M， NAPOLITANO R D J. Continuously decoupling a Hadamard quantum gate from independent classes of errors［J/OL］. Physical Review A， 2007， 76（3）： 032319［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevA.76.032319. [百度学术]

BERMUDEZ A， SCHMIDT P O， PLENIO M B， et al. Robust trapped-ion quantum logic gates by continuous dynamical decoupling［J/OL］. Physical Review A， 2012， 85（4）： 040302［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevA.85.040302. [百度学术]

CHAUDHRY A Z， GONG J. Decoherence control： Universal protection of two-qubit states and two-qubit gates using continuous driving fields［J/OL］. Physical Review A， 2012， 85（1）： 012315［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevA.85.012315. [百度学术]

TIMONEY N， BAUMGART I， JOHANNING M， et al. Quantum gates and memory using microwave-dressed states［J/OL］. Nature， 2011， 476（7359）： 185-188［2023-11-14］. DOI： 10.1038/nature10319. [百度学术]

XU X， WANG Z， DUAN C， et al. Coherence-Protected Quantum Gate by Continuous Dynamical Decoupling in Diamond［J/OL］. Physical Review Letters， 2012， 109（7）： 070502［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevLett.109.070502. [百度学术]

ZHANG J， HAN Y， XU P， et al. Preserving coherent spin and squeezed spin states of a spin-1 Bose-Einstein condensate with rotary echoes［J/OL］. Physical Review A， 2016， 94（5）： 053608［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevA.94.053608. [百度学术]

CAI M， XIA K. Optimizing continuous dynamical decoupling with machine learning［J/OL］. Physical Review A， 2022， 106（4）： 042434［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevA.106.042434. [百度学术]

XU P， ZHANG J. Floquet dynamical decoupling at zero bias［J］. arXiv：2305.07847. DOI： 10.48550/arXiv.2305.07847. [百度学术]

MEDFORD J， CYWIŃSKI Ł， BARTHEL C， et al. Scaling of Dynamical Decoupling for Spin Qubits［J/OL］. Physical Review Letters， 2012， 108（8）： 086802［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevLett.108.086802. [百度学术]

GUO Q， ZHENG S B， WANG J， et al. Dephasing-Insensitive Quantum Information Storage and Processing with Superconducting Qubits［J/OL］. Physical Review Letters， 2018， 121（13）： 130501［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevLett.121.130501. [百度学术]

ABOBEIH M H， CRAMER J， BAKKER M A， et al. One-second coherence for a single electron spin coupled to a multi-qubit nuclear-spin environment［J/OL］. Nature Communications， 2018， 9（1）： 2552［2023-11-14］. DOI： 10.1038/s41467-018-04916-z. [百度学术]

WANG Y， UM M， ZHANG J， et al. Single-qubit quantum memory exceeding ten-minute coherence time［J/OL］. Nature Photonics， 2017， 11（10）： 646-650［2023-11-14］. DOI： 10.1038/s41566-017-0007-1. [百度学术]

WANG P， LUAN C Y， QIAO M， et al. Single ion qubit with estimated coherence time exceeding one hour［J/OL］. Nature Communications， 2021， 12（1）： 233［2023-11-14］. DOI： 10.1038/s41467-020-20330-w. [百度学术]

POKHAREL B， ANAND N， FORTMAN B， et al. Demonstration of Fidelity Improvement Using Dynamical Decoupling with Superconducting Qubits［J/OL］. Physical Review Letters， 2018， 121（22）： 220502［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevLett.121.220502. [百度学术]

ZENESINI A， LIGNIER H， CIAMPINI D， et al. Coherent Control of Dressed Matter Waves［J/OL］. Physical Review Letters， 2009， 102（10）： 100403［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevLett.102.100403. [百度学术]

STRUCK J， ÖLSCHLÄGER C， LE TARGAT R， et al. Quantum Simulation of Frustrated Classical Magnetism in Triangular Optical Lattices［J/OL］. Science， 2011， 333（6045）： 996-999［2023-11-14］. DOI：10.1126/science.1207239. [百度学术]

CLARK L W， ANDERSON B M， FENG L， et al. Observation of Density-Dependent Gauge Fields in a Bose-Einstein Condensate Based on Micromotion Control in a Shaken Two-Dimensional Lattice［J/OL］. Physical Review Letters， 2018， 121（3）： 030402［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevLett.121.030402. [百度学术]

JOTZU G， MESSER M， DESBUQUOIS R， et al. Experimental realization of the topological Haldane model with ultracold fermions［J/OL］. Nature， 2014， 515（7526）： 237-240［2023-11-14］. DOI： 10.1038/nature13915. [百度学术]

WINTERSPERGER K， BRAUN C， ÜNAL F N， et al. Realization of an anomalous Floquet topological system with ultracold atoms［J/OL］. Nature Physics， 2020， 16（10）： 1058-1063［2023-11-14］.DOI：10.1038/s41567-020-0949-y. [百度学术]

CHOI S， CHOI J， LANDIG R， et al. Observation of discrete time-crystalline order in a disordered dipolar many-body system［J/OL］. Nature， 2017， 543（7644）： 221-225［2023-11-14］.DOI：10.1038/nature21426. [百度学术]

CHOI J， ZHOU H， CHOI S， et al. Probing Quantum Thermalization of a Disordered Dipolar Spin Ensemble with Discrete Time-Crystalline Order［J/OL］. Physical Review Letters， 2019， 122（4）： 043603［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevLett.122.043603. [百度学术]

RANDALL J， BRADLEY C E， VAN DER GRONDEN F V， et al. Many-body–localized discrete time crystal with a programmable spin-based quantum simulator［J/OL］. Science， 2021， 374（6574）： 1474-1478［2023-11-14］.DOI：10.1126/science.abk0603. [百度学术]

ZHANG J， HESS P W， KYPRIANIDIS A， et al. Observation of a discrete time crystal［J/OL］. Nature， 2017， 543（7644）： 217-220［2023-11-14］.DOI：10.1038/nature21413. [百度学术]

KYPRIANIDIS A， MACHADO F， MORONG W， et al. Observation of a prethermal discrete time crystal［J/OL］. Science， 2021， 372（6547）： 1192-1196［2023-11-14］. DOI：10.1126/science.abg8102. [百度学术]

ZHANG X， JIANG W， DENG J， et al. Digital quantum simulation of Floquet symmetry-protected topological phases［J/OL］. Nature， 2022， 607（7919）： 468-473［2023-11-14］.DOI：10.1038/s41586-022-04854-3. [百度学术]

OKA T， KITAMURA S. Floquet Engineering of Quantum Materials［J/OL］. Annual Review of Condensed Matter Physics， 2019， 10（1）： 387-408［2023-11-14］. DOI：10.1146/annurev-conmatphys-031218-013423. [百度学术]

BUKOV M， D'ALESSIO L， POLKOVNIKOV A. Universal high-frequency behavior of periodically driven systems： from dynamical stabilization to Floquet engineering［J/OL］. Advances in Physics， 2015， 64（2）： 139-226［2023-11-14］. DOI：10.1080/00018732.2015.1055918. [百度学术]

KUWAHARA T， MORI T， SAITO K. Floquet-Magnus theory and generic transient dynamics in periodically driven many-body quantum systems［J/OL］. Annals of Physics， 2016， 367： 96-124［2023-11-14］.DOI：10.1016/j.aop.2016.01.012. [百度学术]

NIELSEN M A， CHUANG I， Quantum computation and quantum information［M］. American Association of Physics Teachers， 2002. [百度学术]

BREUER H P， PETRUCCIONE F. The theory of open quantum systems［M］. Oxford University Press on Demand， 2002. [百度学术]

GARDINER C， ZOLLER P. Quantum noise： a handbook of Markovian and non-Markovian quantum stochastic methods with applications to quantum optics［M］. Springer Science & Business Media， 2004. [百度学术]

MA J， HUANG Y Xiao， WANG X， et al. Quantum Fisher information of the Greenberger-Horne-Zeilinger state in decoherence channels［J/OL］. Physical Review A， 2011， 84（2）： 022302［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevA.84.022302. [百度学术]

AOLITA L， DE MELO F， DAVIDOVICH L. Open-system dynamics of entanglement：a key issues review［J/OL］. Reports on Progress in Physics， 2015， 78（4）： 042001［2023-11-14］. DOI：10.1088/0034-4885/78/4/042001. [百度学术]

XU P， YI S， ZHANG W. Efficient Generation of Many-Body Entangled States by Multilevel Oscillations［J/OL］. Physical Review Letters， 2019， 123（7）： 073001［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevLett.123.073001. [百度学术]

ABDELHAFEZ M， BAKER B， GYENIS A， et al. Universal gates for protected superconducting qubits using optimal control［J/OL］. Physical Review A， 2020， 101（2）： 022321［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevA.101.022321. [百度学术]

ALIFERIS P， PRESKILL J. Fault-tolerant quantum computation against biased noise［J/OL］. Physical Review A， 2008， 78（5）： 052331［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevA.78.052331. [百度学术]

URBANEK M， NACHMAN B， PASCUZZI V R， et al. Mitigating Depolarizing Noise on Quantum Computers with Noise-Estimation Circuits［J/OL］. Physical Review Letters， 2021， 127（27）： 270502［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevLett.127.270502. [百度学术]

PAIK H， DUTTA S K， LEWIS R M， et al. Decoherence in dc SQUID phase qubits［J/OL］. Physical Review B， 2008， 77（21）： 214510［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevB.77.214510. [百度学术]

BAUCH E， SINGH S， LEE J， et al. Decoherence of ensembles of nitrogen-vacancy centers in diamond［J/OL］. Physical Review B， 2020， 102（13）： 134210［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevB.102.134210. [百度学术]

ZANARDI P. Symmetrizing evolutions［J/OL］. Physics Letters A， 1999， 258（2-3）： 77-82［2023-11-14］.DOI：10.1016/S0375-9601（99）00365-5. [百度学术]

XU P， ZHENG W， ZHAI H. Topological micromotion of Floquet quantum systems［J/OL］. Physical Review B， 2022， 105（4）： 045139［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevB.105.045139. [百度学术]

XU P， DENG T S， ZHENG W， et al. Density-dependent spin-orbit coupling in degenerate quantum gases［J/OL］. Physical Review A， 2021， 103（6）： L061302［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevA.103.L061302. [百度学术]

XU P， DENG T S. Boundary discrete time crystals induced by topological superconductors in solvable spin chains［J/OL］. Physical Review B， 2023， 107（10）： 104301［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevB.107.104301. [百度学术]

摘要

Abstract

关键词

周期驱动动力学解耦新奇量子物态

Keywords

periodic drivingdynamical decouplingnovel quantum states

references

HAHN E L. Spin Echoes［J/OL］. Physical Review， 1950， 80（4）： 580-594［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRev.80.580http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.80.580.

XU P， ZHANG J. Floquet dynamical decoupling at zero bias［J］. arXiv：2305.07847. DOI： 10.48550/arXiv.2305.07847http://dx.doi.org/10.48550/arXiv.2305.07847.

ZHANG J， HESS P W， KYPRIANIDIS A， et al. Observation of a discrete time crystal［J/OL］. Nature， 2017， 543（7644）： 217-220［2023-11-14］.DOI：10.1038/nature21413http://dx.doi.org/10.1038/nature21413.

NIELSEN M A， CHUANG I， Quantum computation and quantum information［M］. American Association of Physics Teachers， 2002.

BREUER H P， PETRUCCIONE F. The theory of open quantum systems［M］. Oxford University Press on Demand， 2002.

GARDINER C， ZOLLER P. Quantum noise： a handbook of Markovian and non-Markovian quantum stochastic methods with applications to quantum optics［M］. Springer Science & Business Media， 2004.

PAIK H， DUTTA S K， LEWIS R M， et al. Decoherence in dc SQUID phase qubits［J/OL］. Physical Review B， 2008， 77（21）： 214510［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevB.77.214510http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.77.214510.

ZANARDI P. Symmetrizing evolutions［J/OL］. Physics Letters A， 1999， 258（2-3）： 77-82［2023-11-14］.DOI：10.1016/S0375-9601（99）00365-5http://dx.doi.org/10.1016/S0375-9601（99）00365-5.

XU P， ZHENG W， ZHAI H. Topological micromotion of Floquet quantum systems［J/OL］. Physical Review B， 2022， 105（4）： 045139［2023-11-14］. DOI：10.1103/PhysRevB.105.045139http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.105.045139.

更多指标>

141

浏览量

138

下载量

CSCD

文章被引用时，请邮件提醒。

提交

工具集

关联资源

暂无数据